TEOREMA XXIV
SI DOS LADOS DE UN TRIANGULO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A DOS LADOS DEL OTRO: Y EL 3ER LADO DEL PRIMER TRIANGULO ES MAYOR QUE EL 3ER LADO DEL OTRO EL ANGULO COMPRENDIDO POR LOS DOS LADOS DEL 1ER TRIANGULO ES MAYOR QUE EL ANGULO COMPRENDIDO POR EL OTRO.
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Sean los triángulos ABC y XYZ en los que AC=XZ BC=YZ AB>XY
Demostrar que : Angulo C > Angulo Z
Demostracion: los angulos C y Z pueden cumplir con uno de los siguientes ttes condiciones siguientes
<C=<Z
<C<<Z
<C><Z
- si el angulo C fuese igual al angulo Z esto significa que AB tendría que se igual a XY…LO CUAL NO ES POSIBLE
- si el angulo C fuese menor al angulo Z significa que XY sea mayor a AB…LO CUAL NO ES VERDAD
- por consiguiente la única posibilidad que nos queda es que angulo C sea mayor a angulo Z
TEOREMA XXV
SI DOS LADOS DE UN ANGULO SON PALAREOS A LOS DE OTRO LOS DOS ANGULOS SON O IGUALES O SUPLEMENTARIOS
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Sean los < AOB y <POR en los que AO paralela PQ y OB paralela QR
Demostrar que: <0=<Q y que <Q’ suplemento de <0
Demostracion:
Prolonguemos el lado OA hasta D siendo M el punto de intersección de QR
<0=<M Por correspondiente
<M=<Q Por correspondiente
por lo tanto
<0=<Q si dos cantidades son iguales a una tercera lo son entre si
por otro lado: <Q’ es el suplemento de <Q definición de angulo suplementario
en consecuencia
<Q’ es el suplemento de <0 Suplemento de angulos iguales son iguales
TEOREMA XXVI
EN TODO PARALELOGRAMO CADA LADO ES IGUAL A SU OPUESTO
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Demostrar que: AB=CD AD=BC
Demostracion: Trazamos la diagonal AC y formamos los triángulos ABC y ACD en los que
<DAC=<ACB ; <CAB= <ACB si dos o mas paralelas son cortadas por una trasversal los angulos alternos internos son igules
AC=AC por lado común
Por lo tanto
Triangulo ABC= Triangulo ACD TEOREMA III
Enronces
AB=CD Por partes homologas de dos fig congruentes
AD=BC
TEOREMA XXVII
EN TODO CUADRILATERO SI CADA LADO ES IGUAL A SU OPUESTO , EL CUADRILATERO ES UN PARALELOGRAMO
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Demostrar que : el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo
Demostracion:
Trazamos la diagonal AC y formamos los triángulos ABC y ACD
BC=AD por hipótesis
AB=DC por hipótesis
AC=AC por lado común
Entonces
Triangulo ABC=ACD TEOREMA VI
<BAC=<ACD
En consecuencia
AB paralela a CD si las dos rectas cortadas por una transversal los angulos alternos internos son iguales , las dos rectas son iguales
<CAD=<ACD por partes homologas
en consecuencia
AD paralela a BC por axioma anterior
En consecuencia el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo
TEOREMA XXVIII
SI DOS LADOS DE UN CUADRILATERO SON IGUALES Y PALALEROS LOS OTROS DOS TAMBIEN LOS SON Y EN CONSECUENCIA EL CUADRILATERO ES UN PARALELOGROMO
Demostrar que: ABCD es u cuadrilátero
Trazamos una diagonal AD formando triángulos ABC y ACD
<BAC=<DCA si dos lados de una paralela son cortadas por una trasversal los angulos alternos internos son iguales
AC=AC lado común
AB=CD por hipótesis
Triángulos ABC =ACD TEOREMA II
En consecuencia
<DAC=<BCA por partes homologas
AD paralela a BC si dos rectas son cortadas por una transversal forma un angulo alternos internos las dos rectas paralelas
En consecuencia el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo
TEOREMA XXIX
LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO SE DIVIDEN MUTUAMENTE EN PARTES HOMOLOGAS
Demostrar que: OA=OC BO=OD
En los triángulos ABO y CDO tenemos que AB=CD por paralelogramo
<CAD=<DCA TEOREMA XVI
<CBD=<ABD TEOREMA XVI
por lo tanto
Triangulo ABO=CDO TEOREMA III
POR LO TANTO
AO=OC POR PARTES HOMOLOGAS DE DOS FIG CONGRUENTES
DO=OB
TEOREMA XXX
SI DOS LADOS ADYACENTES DE UN PARALELOGRAMO Y EL ANGULO COMPRENDIDO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LOS DOS LADOS DEL OTRO LOS DOS PARALELOS SON IGUALES
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