Construcción de un aparato medidor de ángulos
Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando éste está situado arriba del observador. Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
Tangente de un ángulo
Marta, que vive en primera línea de playa, observa un hidropedal averiado bajo un ángulo de depresión de 10º. Ella estima que la altura de su apartamento es de 20 m y que la distancia del portal a las olas es de 15 m.
Como desea conocer lo que deben nadar sus ocupantes hasta alcanzar la costa, con la ayuda de un transportador de ángulos dibuja un triángulo semejante y, posteriormente, mide sus catetos. Por ser proporcionales con el triángulo real, Marta consigue averiguar lo que debían nadar sus ocupantes para alcanzar la playa.
Realiza en tu cuaderno la proeza de Marta.
Definición
Consideremos un ángulo agudo cualquiera y tracemos una perpendicular por su semirrecta base obteniendo el triángulo ABC, llamaremos tangente de A a la razón BC/AC.
El Teorema de Thales garantiza que el lugar por el que trazamos la perpendicular es indiferente para el cálculo de la tangente:
En general, sobre un triángulo rectángulo, diremos que la tangente del ángulo es la razón cateto opuesto/cateto contiguo.
De igual manera diremos que el coseno del ángulo es la razón cateto contiguo/hipotenusa
y que el seno de éste es cateto opuesto/hipotenusa.
También se utilizan las inversas de la tangente, el coseno y el seno, que se llaman respectivamente cotangente, secante y cosecante:
A la tangente, coseno, seno y a sus inversas se las llama razones trigonométricas del ángulo "
- Estima, sirviéndote de un transportador de ángulos y midiendo segmentos en los correspondientes dibujos, las razones trigonométricas de los ángulos de 40º y 60º.
Obtención de las razones trigonométricas mediante la calculadora
Anteriormente hemos estimado las razones de los ángulos mediante la medida de segmentos. La imprecisión de la medida provoca que se obtengan valores con poca exactitud. Existen técnicas matemáticas que permiten conocer con suficiente finura el valor de la tangente, el coseno y el seno de un ángulo, pero no se estudian en este curso. No obstante, puedes hacer uso de tu calculadora para obtener una buena estimación utilizando la teclas TAN, COS y SIN.
Pasos para hallar el valor de la tangente del ángulo de 40º:
40 TAN = 0.8390996.
En otros modelos de calculadora se pone TAN en primer lugar y después se introduce 40.
También es posible, conocida la tangente del ángulo, averiguar el ángulo del que se trata. Supongamos que la tangente de un ángulo vale 2.75:
2.75 TAN-1 = 70.016893, se trata de un ángulo 70º aproximadamente. En otras calculadoras se introduce 2.75 después de TAN-1.
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Si Marta hubiera estudiado la tangente y dispuesto de una calculadora, no tendría que haber recurrido al dibujo para calcular la distancia del hidropedal hasta el portal de su casa:
tg(80º)=x/20; x=20. tg(80º)=20 . 5'6712818 =113'42 m aproximadamente.
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APLICACIONES
1) Estimación de la distancia Tierra-Luna
Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km. Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra, contemplamos su disco bajo un ángulo de medio grado.
Si a x, que es la distancia hasta el centro de la Luna, le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separación entre Tierra y Luna de 396579 Km..
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna. Se ha podido conocer, mediante el envío de rayos láser, que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimación de la distancia Tierra-Sol
Aristarco (s. III a. J.), célebre astrónomo de Alejandría, intentó calcular cuántas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna. Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las líneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un ángulo de 90º. Aristarco midió el ángulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87º.
De esta forma:
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna. Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente, obtenemos una distancia solar de 7344920 Km.
Volviendo con nuestro astrónomo, faltaba comentar que cometió un pequeño error al medir el ángulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89º 50'. Esta pequeña diferencia en la medida del ángulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separación Tierra-Sol
Con mayor precisión se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km. Como recordarás, a este valor se le llama unidad astronómica (UA).
3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un río, que mide 10 m de ancho, de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinación de 20E. ¿Cuál debe ser la longitud de la baranda?, ¿a qué distancia del cauce se situará el comienzo de la rampa?
la baranda es de unos 21 m y 70 cm.
La escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce.
4) Cálculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ángulos de elevación desde los puntos A y B. Con los datos de la figura tenemos que:
Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos:
(10+x)·0'839=1'96·x; 8'39+0'839·x=1'96·x; 8'39=1'121·x; x=7'484 m, aproximadamente.
h=7'484·1'96=14'668. La torre mide unos 14 metros y medio de alto.
- Halla la altura del puente, sabiendo que tiene 17 m de largo.
PROPIEDADES
Consideremos el triángulo rectángulo de la figura:
En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que los catetos.
