TEOREMA XII

Dos triangulos son iguales si la hipotenusa y un cateto del uno son respectivamente iguales a la hipotenusa y un cateto del otro 

Demostrar: Δ ABC = Δ A´B´C

Coloquese el Δ ABC al lado del Δ A´B´C de suerte que BC caiga so B´C´ y A y A´ queden en lados opuestos que B´C´

Entonces BA caera sobre la prolongación de A´B´

Se tiene además: AC´= A´C

Entonces AB´= A´B´

Entonces Δ ABC = Δ A´B´C´

TEOREMA XIII

Dos triangulos rectángulos son iguales si tienen iguales respectivamente la hipotenusa y uno de los angulos adyacentes a ella

Demostrar: ΔABC =  ΔA´B´C´

Coloquese el triangulo ABC sobre el A´B´C´

Entonces C caera sobre C´

AB tomara la dirección de A´B´

Puesto que C coincide con C´ y los  Δs B Y B´son rectos,

CB coincidirá con C´B´

Entonces: ΔABC = ΔA´B´C´

TEOREMA XIV

Dos rectas situadas en un mismo plano y perpendiculares a una tercera no pueden encontrarse, por mas que se prolonguen

Demostrar: que AB y CD no pueden encontrarse por mas que se prolonguen

Entonces  AB y CD prolongadas no pueden encontrarse

TEOREMA XV

Si dos o mas rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las otras 

Demostrar: XY es perpendicular a CD

Supongase que por el punto P se traza MN perpendicular a XY

MN debe ser paralela a AB

CD es paralela a AB

Entonces CD y MN deben coincidir

XY es perpendicular a MN

Entonces XY  es perpendicular a CD

TEOREMA XVI

Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los angulos alternos-internos son iguales.

Demostrar: <POM = < DQP

Por O, punto medio de PQ, trasece la recta  MN perpendicular a CD

MN es perpendicular a AB

Los Δs PMO y QNO son rectángulos

<POM = <QON

OP = OQ

Entonces ΔPOM = ΔQNO

Entonces <APQ = <DQP

TEOREMA XVII

Si dos rectas situadas en un mismo plano forman con una transversal angulos alternos-internos iguales, esas dos rectas son paralelas 

Demostrar AB es paralela a CD

<MPQ = < DQP

<APQ = <DQP

Entonces <APQ = <MPQ

Entonces AB Y MN deben coincidir

MN es paralela a CD

Entonces AB, que conicide con MN, es paralela a CD

TEOREMA XVIII

Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los angulos correspondientes son iguales. 

Demostrar: <BPX = <DQX

<BPX = <APQ,

<APQ = <DQX

Entonces <BPX = <DQX

TEOREMA XIX

La suma de los tres angulos de un triangulo es igual a dos rectas 

 Demostrar: <A + <B + <C = 2rt

<XBY + < YBC + < CBA = 2rt

<A = <XBY

<C = <YBC

Entonces <A + <B +<C =2rt

TEOREMA XX

La suma de dos lados cualesquiera de un triangulo es mayor que el tercer lado; y la diferencia, menor. 

 Demostrar: BC + CA > AB , y AB – BC < CA

BC + CA > AB

CA > AB – BC

Entonces AB- BC < CA

TEOREMA XXI

Si dos lados de un triangulo son desiguales, al mayor lado se opone mayor angulo. 

 Demostrar <BAC > <B

Hagase CX igual a CA

Tracese AX

El Δ ACX es isósceles;

Entonces <CXA = < XAC

<CXA > <B

<BAC > <XAC

Reemplazando es etsa desigualdad <XAC por su igual <CXA, resulta

<BAC > <CXA

<CXA > < B

<BAC > <B

TEOREMA XXII

Si dos angulos de un triangulo son desiguales, al mayor angulo se opone el mayor lado 

 Demostrar: BC > CA

El lado BC tiene que ser o igual a CA, o mayor o menor que CA

Si BC fuera igual a AC, los angulos A y B serian iguales

Si CA fuera mayor que BC

El <B seria mayor que el <A

Pero decir que CA no es mayor que BC es lo mismo que decir que BC no es menor que CA

<A = <B

<A < <B

Son contrarias al supuesto de que el angulo A es mayor que el B puesto que BC no puede ser mayor que CA ni menor que CA suiguese necesariamente que

BC > CA

TEOREMA XXIII

Si dos lados de un triangulo son respectivamente iguales a dos lados de otro, y el angulo comprendido por los dos primero es mayor que el comprendido por los dos segundos, el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo.

 Demostrar: AB > XY

Coloquese el ΔXYZ de modo que XZ coincida con su igual AC, como se ve en la tercera figura. El lado YZ caera dentro del <ACB,  por ser <C > <Z

Sea CP la bisectriz del <YCB. Tracese PY

CP=CP,

CY=CB

<YCP = <PCB

Entonces ΔPYC =ΔPBC

Entonces PY = PB

AP + PY > AY;

Entonces AP + PY > AY

AB > AY

AB > XY

TEOREMA XXIV

Si dos lados de un triangulo son respectivamente iguales a dos lados de otro, y el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo, el angulo opuesto al tercer lado es mayor en el primer triangulo que en el segundo.

Demostrar: <C > <Z

El angulos C debe ser o igual a Z, o menor o mayor que el Z

Si C fuese igual  Z, el ΔABC seria igual al ΔXYZ

AB seria por tanto igual a XY

Si C fuese menor que Z, AB seria menor que XY

Como estas conclusiones son contrarias al supuesto de que AB es mayor que XY, siguese que C no puede ser ni igual a Z ni menor que Z, y que por tanto 

<C > <Z